Переход спутника с одной орбиты на другую

Требуется перевести искусственный спутник, летящий по орбите радиусом (или большой полуосью, что для круговой орбиты, очевидно, одно и то же), равным a₁, на орбиту ра­диусом a₂ (рис. 43).

Вычисление скоростей

Скорость искусственного спутника на орбите радиусом а равна:

v₁ = √(GM / a).

Эта скорость называется первой космической скоростью на расстоя­нии a. Приняв за единицу длины радиус первой орбиты a₁, интеграл энергии можно переписать в виде

v² = v₁² • ((2 / r) — (1 / a)),

где v₁ — первая космическая скорость на расстоянии a₁. В ин­тересующих нас случаях (переход с одной орбиты искусственного спутника Земли на дру­гую и перелёт с Земли на другую планету) за a₁ принимают значение радиуса Земли, или радиуса земной орбиты. В пер­вом случае v₁ = 8 км/с, во втором v₁ = 30 км/с.

Для перехода на орбиту радиусом a₂ нужно перевести искусственный спутник на промежуточную орбиту, представляющую собой эллипс, ка­сающийся как нижней, так и верхней орбиты (рис. 43). Большая полуось этого эллипса равна a_пр = (a₁ + a₂) / 2.

На промежуточной орбите (точка A на рисунке 43) в пери­гее спутник должен иметь скорость:

v_пр² = v₁²(2a₂ / (a₂ + a₁)).

Так как v_пр > v₁, то для перехода на промежуточную орби­ту нужно увеличить скорость искусственного спутника.

В точке B (рис. 43) скорость искусственного спутника, летящего по проме­жуточной орбите, меньше, чем первая космическая скорость на этом расстоянии:

v_прв² = v₂²(2a₁ / (a₂ + a₁)).

Поэтому для окончательного перехода на новую орбиту ско­рость спутника должна быть ещё раз увеличена.

Вычисление времени

Если стоит задача не просто перевести искусственный спутник с орбиты на ор­биту, а провести стыковку с другим искусственным спутником (спутником-мишенью), то запуск должен производиться в строго определённое время, чтобы оба спутника подошли к точке B (рис. 43) одновре­менно. Для этого спутник-мишень в момент начала перевода должен находиться в точке C. Для определения дуги CB вос­пользуемся третьим законом Кеплера.

Поскольку период обращения спутника-мишени (летящего по орбите радиусом а₂) равен T₂ = 1,65 • 10^-4√a₂³, а время пере­лёта равно половине периода для промежуточной орбиты t = ¹/₂T_пр = 0,83 • 10^-4√a_пр³, то длина дуги BC находится по фор­муле Материал с сайта http://wiki-what.com

α = 360° • T_пр / T₂ = 180° • √(1/8 • (1 + a₁/a₂)),

что и определяет время старта искусственного спутника. Он производится в момент, когда спутник находится в точке A, а спутник-мишень прохо­дит точку C (рис. 43).

Очевидно, что полученные формулы непосредственно при­меняются к расчётам полётов к Луне (космический аппарат сначала выводится на низкую круговую орбиту) и к другим планетам.