Задача Кеплера
Задача Кеплера — это частный случай задачи двух тел, в которой система состоит из двух тел A и B с массами соответственно M и m (M >> m и система отсчёта связана с большим телом, т. е. это тело неподвижно).
Строгий математический анализ задачи двух тел, проведённый ещё Ньютоном, показал, что движение тел в гравитационно-связанной системе подчиняется законам, которые были установлены Кеплером в применении к Солнечной системе и которые носят его имя. Решение задачи двух тел, получаемое из закона всемирного тяготения Ньютона, позволяет найти значения постоянных величин, которые входят в математические соотношения, выражающие эти законы.
Рис. 40. К вычислению потенциальной энергии системы
Потенциальная энергия
Найдём потенциальную энергию такой системы тел (рис. 40). При перемещении тела m из точки R1 в точку R2 будет совершена работа, равная:
A1,2 = (GMm / R2ср) • (R2 — R1).
Существует два средних значения: среднее арифметическое и среднее геометрическое. При малой разности обеих величин различие между средними оказывается намного меньшим, чем различие между величинами. Поэтому мы можем заменить на произведение R1R2. Тогда
A1,2 = (GMm / R2) — (GMm / R1).
Поскольку работа есть разность потенциальных энергий, взятая с обратным знаком, ясно, что
EП = -GMm / R.
Полная энергия
Найдём теперь значение полной энергии системы. Для этого зафиксируем равенство полной энергии в точках эллипса A и B (рис. 41):
(mvA2 / 2) — (GMm / r) = (mvB2 / 2) — (GMm / R) [1]
и равенство моментов импульса в этих точках:
vAr = vBR. [2]
(Обозначения ясны из рисунка 41, если допустить, что Солнце находится в левом фокусе эллипса.)
С помощью уравнения [2] исключим из уравнения [1] vB и перепишем получившееся уравнение в виде
((mvA2 / 2) — (GMm / r)) • R2 + GMR — (mvA2r2 / 2) = 0.
Очевидно, что R является корнем этого трёхчлена. Прямой подстановкой убеждаемся, что r также является корнем этого трёхчлена. По теореме Виета получаем
2a = (R + r) = GMm / ((mvA2 / 2) — (GMm / r)) = GMm / Eпол и Eпол = -GMm / 2a.
Закон сохранения энергии
Теперь закон сохранения энергии может быть записан в виде
(mv2 / 2) — (GMm / r) = -GMm / 2a, [3]
где a — большая полуось орбиты, а r — расстояние от большего тела.
Согласно закону сохранения энергии полная энергия системы есть величина постоянная. Отсюда следует вывод, что скорость v зависит только от радиус-вектора r. В противном случае E не может быть постоянной величиной. Таким образом, в задаче остаётся только одна произвольная постоянная — полная энергия. Она задаётся значением скорости в произвольной точке орбиты (т. е. для определённого значения r).
После выполненных вычислений возможно определение скорости в любой точке орбиты по формуле полной энергии. Поскольку v задаётся произвольным образом (исходя из условий данной конкретной задачи), ясно, что полная энергия может иметь любой знак, т. е. она может быть отрицательной, положительной и равной нулю.
Eпол меньше 0
В этом случае из формулы (3) получаем
r = GM / (|Eпол| + v2 / 2) < GM / |Eпол|,
т. е. тела, составляющие систему, не могут удалиться друг от друга на расстояние большее, чем r = GM / |Eпол|. Причём этот предел завышен. Если полная энергия тела отрицательна, то орбитой меньшего тела является эллипс. Система с отрицательной полной энергией называется гравитационно связанной.
Первая космическая скорость
Особый интерес представляет движение меньшего тела системы по круговой орбите. В данном случае имеет место соотношение
v1 = √(GM / R),
где R — радиус, или большая полуось, орбиты; v1 — первая космическая скорость.
Теорема вириала
Отсюда следует, что в случае кругового движения кинетическая энергия в 2 раза меньше по модулю потенциальной. Поэтому
2Eк + Eп = 0.
Это соотношение называется теоремой вириала. Материал с сайта http://wiki-what.com
Eпол больше 0
При Eпол > 0 из формулы (3) получаем a < 0. В этом случае расстояние между телами никак не ограничено. Тела могут сходиться и расходиться на любое расстояние. Орбитой меньшего тела будет гипербола. Система с положительной полной энергией называется гравитационно несвязанной.
Eпол = 0
Особый интерес представляет случай Eпол = 0. Меньшее тело при этом движется по параболе. Из этого следует, что гравитационно несвязанная система не может самопроизвольно превратиться в систему гравитационно связанную, т. е. захват другого тела в рамках задачи двух тел невозможен. Это положение очень важно, когда рассматривается возможность образования системы Земля — Луна путём захвата Луны.
Вторая космическая скорость
В этом случае скорость тела равна:
v1 = √(2GM / R).
Эта скорость называется второй космической скоростью на расстоянии r.
Картинки (фото, рисунки)
Рис. 40. К вычислению потенциальной энергии системы
Рис. 41. К определению полной энергии системы
На этой странице материал по темам:
Задача кеплера в скайлабе
Решение задач законы кеплера
Ек0 еп0ек еп что это
Задача кемплера
Задачи по закону кеплера