Законы Кеплера

Формулировка Кеплера:

Планета движется по эллипсу, в одном из фокусов кото­рого находится Солнце.

Ньютон обобща­ет её: во-первых, может рассматриваться система звезда — звезда (двойная звезда), планета — спутник; во-вторых, меньшее тело может двигаться по параболе или гиперболе (рис. 33).

Совре­менная формулировка:

В гравитационно-связанной системе тело B движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится тело A. Экс­центриситет эллипса определяется численным значением полной энергии системы. В гравитационно-несвязанной сис­теме тело B движется по параболе (E = 0) или по гиперболе (E > 0), в фокусах которых находится тело A.

Эллипс

Эллипс (рис. 33) — вытянутая окружность, обладающая тем свойством, что существуют две точки (фокусы эллипса F₁ и F₂, для которых выполняется условие: сумма расстояний фокусов от любой точки эллипса постоян­на (F₁C + F₂C = F₁E + F₂E = const), т. е. не зависит от точки, выбранной на эл­липсе).

Отрезок AB называется большой осью, соответственно отрезок AO = OB — большой полуосью (принятое обозначение a), отрезки CD и OC — малой осью и полуосью b. Размер эллипса определяется большой полуосью, форма — экс­центриситетом e = √(1 — b² / a²). При e = 0 эллипс вырождается в окружность, при e = 1 — в параболу, при е > 1 — в гиперболу, которую лучше представлять в ви­де графика функции y = 1 / x, повёрнутого на 45°. У эллипса большая полуось a > 0, у параболы a = ∞, у гиперболы a < 0, что, конечно, только математиче­ская абстракция.

Радиус-вектор планеты за равные промежутки времени описывает равные площади (рис. 34).

Это утверждение аналогично тому, что скорость движения уменьшается по мере удаления от Солнца, а точнее, это закон сохранения момента импульса.

Если подсчитать число суток от дня весеннего равноденст­вия (21 марта) до дня осеннего (23 сентября) и от 23 сентяб­ря до 21 марта следующего года, то окажется, что первый пе­риод на 7 сут. длиннее второго. Другими словами, Земля зи­мой движется быстрее, чем летом, следовательно, она зимой ближе к Солнцу. Самую близкую к Солнцу точку своей орби­ты — перигелий — Земля проходит 6 января.

Закон сохранения момента импульса

Момент импульса (K = mvr) — физическая величина, удобная для описа­ния движения точки по окружности или эллипсу, параболе, гиперболе, а так­же для описания вращения твёрдого тела. Закон сохранения момента им­пульса (как и законы сохранения импульса и энергии) — один из трёх ос­новополагающих законов природы. Согласно теореме Нётер этот закон явля­ется следствием изотропности (равноправия всех направлений) Вселенной.

Отношение куба большой полуоси планетной орбиты к ку­бу периода обращения планеты вокруг Солнца равно сумме масс Солнца и планеты (в формулировке Ньютона):

a³ / T² = (G / 4π²) • (M + m), Материал с сайта http://wiki-what.com

где M и m — массы тел системы; a и T — большая полуось и период обращения меньшего тела (планеты, спутника); G — гравитационная постоянная.

Необходимо обратить внимание на постоянный множитель в правой ча­сти. В формуле он приводится в единицах СИ, но в астроно­мии используются астрономическая единица длины (вместо метра), год (вместо секунды) и масса Солнца (вместо кило­грамма). Тогда, как легко убедиться, если пренебречь массой планеты по отношению к массе Солнца, постоянный множи­тель в этой формуле равен единице.

Третий закон Кеплера предоставляет единственную возможность непосредственно оп­ределить массу небесного тела (например, массы Солнца).